Дробная производная

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Понятие дробной производной является обобщением математического понятия производная. Существует несколько разных способов обобщить это понятие, но все они совпадают с понятием обычной производной в случае целого положительного порядка.

Определение через интеграл Коши

Дробная производная порядка p (p — действительное положительное число) определяется через интеграл Коши: D_C^pf(x)=\frac1{\Gamma(p)}\!\int\limits_C\frac{f(u)}{(t-u)^{p+1}}\,du, где интегрирование ведется по выбранному заранее контуру C на комплексной плоскости.

Как и простая, дробная производная обладает следующим свойством: D_C^{p_1+p_2}=D_C^{p_1}\!D_C^{p_2}

Используется в некоторых задачах кинетики, нелинейной динамики и т. п.

Чаще всего используется дробная производная порядка p = 1 / 2. С ее помощью можно, например, факторизовать выражения вида f'(x)-F[f(x),x]=\left(D^{1/2}\!f(x)-\sqrt{F[f(x),x]}\right)\left(D^{1/2}\!f(x)+\sqrt{F[f(x),x]}\right), где функция F — некоторая (в общем случае, не линейная) функция (например, F[f(x),x] = f2(x)).

Определение через преобразование Фурье

Основано на следующем свойстве интегрального преобразования Фурье

F(f') = iωF(f).


Пример: дифференцирование многочленов

Пусть f(x) есть моном вида

f(x) = x^k\;.

Первая производная, как и обычно

f'(x) = {d \over dx } f(x) = k x^{k-1}\;.

Повторение данной процедуры даёт более общий результат

{d^a \over dx^a } x^k = { k! \over (k - a) ! } x^{k-a}\;,

который после замены факториалов гамма-функцией приводит к

{d^a \over dx^a } x^k = { \Gamma(k+1) \over \Gamma(k - a + 1) } x^{k-a}\;.

Поэтому, например, половинная производная функции x есть

{ d^{1 \over 2} \over dx^{1 \over 2} } x = { \Gamma(1 + 1) \over \Gamma ( 1 - {1 \over 2} + 1 ) } x^{1-{1 \over 2}} = { \Gamma( 2 ) \over \Gamma ( { 3 \over 2 } ) } x^{1 \over 2} = {2 \pi^{-{1 \over 2}}} x^{1 \over 2}\; = \frac{2\,x^{1 \over 2}}{\sqrt{\pi}}.

Повторяя процедуру, будем иметь

{ d^{1 \over 2} \over dx^{1 \over 2} } {2 \pi^{-{1 \over 2}}} x^{1 \over 2} = {2 \pi^{-{1 \over 2}}} { \Gamma ( 1 + {1 \over 2} ) \over \Gamma ( {1 \over 2} - { 1 \over 2 } + 1 ) } x^{{1 \over 2} - {1 \over 2}} = {2 \pi^{-{1 \over 2}}} { \Gamma( { 3 \over 2 } ) \over \Gamma ( 1 ) } x^0 = { 1 \over \Gamma (1) } = 1\;,

что представляет собой ожидаемый результат

\left( \frac{d^{1/2}}{dx^{1/2}} \frac{d^{1/2}}{dx^{1/2}} \right) x = { d \over dx } x = 1 \,

Таким образом можно ввести дробные производные произвольного положительного порядка от многочлена. Определение также естественно обобщается на аналитические функции. Рассматривая Γ как мероморфную функцию комплексного переменного, можно обобщить определение на случай произвольного порядка дифференцирования n \not\in \{0,-1,-2,\ldots\}. При этом

{d\over dx}^a{d\over dx}^b = {d\over dx}^{a+b}

на всех xk таких, что при данных дифференцированиях показатель степени не становится равным 0,-1,-2,\ldots .

См. также

Дифферинтеграл

Литература


  • S.G. Samko, A.A. Kilbas, O.I. Marichev, Fractional Integrals and Derivatives Theory and Аpplications. (Gordon and Breach, New York, 1993).
  • K. Miller, B. Ross, An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations. (Wiley, New York, 1993).
  • I. Podlubny, Fractional Differential Equations. (Academic Press, San Diego, 1999).
  • A.A. Kilbas, H.M. Srivastava, J.J. Trujillo, Theory and Application of Fractional Differential Equations. (Elsevier, Amsterdam, 2006).
  • B. Ross, «A brief history and exposition of the fundamental theory of fractional calculus» Lect. Notes Math. Vol.457. (1975) 1-36.

Ссылки


Comments