Дифферинтеграл

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Дифферинтеграл в математическом анализе — объединённый оператор дифференцирования/интегрирования, используется в дифференциальном и интегральном исчислении дробного порядка. Сам по себе оператор не задаёт новую функцию, а лишь служит для обозначения операции взятия производной/интеграла дробного порядка.

Оператор обозначается следующим образом: \mathbb{D}^q_t.

Определения

Три наиболее употребительных формулы:

Самая простая и часто употребимая формулировка. Эта формула является обобщением до произвольного порядка формулы повторного интегрирования Коши.
{}_a\mathbb{D}^q_t\!f(t) =\frac{d^q\!f(t)}{d(t-a)^q}

=\frac{1}{\Gamma(n-q)} \frac{d^n}{dt^n} \int\limits_{a}^{t}\!(t-\tau)^{n-q-1}f(\tau)\,d\tau
{}_a\mathbb{D}^q_t\!f(t) =\frac{d^q\!f(t)}{d(t-a)^q}

=\lim_{N \to \infty}\left[\frac{t-a}{N}\right]^{-q}\sum_{j=0}^{N-1}(-1)^j{q \choose j}f\left(t-j\left[\frac{t-a}{N}\right]\right)
Формально похож на дифферинтеграл Грюнвальда-Летникова, но распространяется на периодические функции с равным нулю интегралом по периоду.

Определения через преобразования

Обозначим непрерывное преобразование Фурье, как \mathcal{F} :

F(\omega) = \mathcal{F}\{f(t)\} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty\!f(t) e^{- i\omega t}\,dt.

В фурье-пространстве дифференцированию соответствует произведение:

\mathcal{F}\left[\mathbb{D}\!f(t)\right] = \mathcal{F}\left[\frac{df(t)}{dt}\right] = i \omega \mathcal{F}[f(t)].

Поэтому,

\mathbb{D}\!f(t) = \mathcal{F}^{-1}\left\{(i \omega)\mathcal{F}[f(t)]\right\},

что сводится к

\mathbb{D}^q\!f(t)=\mathcal{F}^{-1}\left\{(i \omega)^q\mathcal{F}[f(t)]\right\}.

При преобразовании Лапласа, здесь обозначенном \mathcal{L}, дифференцирование заменяется умножением

\mathcal{L}\left[\frac{df(t)}{dt}\right] = s\mathcal{L}[f(t)].

Обобщая для произвольного порядка дифференцирования и решая уравнение относительно Dqf(t), получаем

\mathbb{D}^q\!f(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{s^{q}\mathcal{L}[f(t)]\right\}.

Основные свойства

  • Линейность
\mathbb{D}^{q}(x+y)=\mathbb{D}^{q}(x)+\mathbb{D}^{q}(y)
\mathbb{D}^{q}(ax)=a\mathbb{D}^{q}(x)
  • Полугрупповое свойство
\mathbb{D}^a\mathbb{D}^{b}x = \mathbb{D}^{a+b}x
  • Правило нуля
\mathbb{D}^{0}x=x
  • Подклассы дифферинтеграла
\mathbb{D}^{a}x=d^{a}x для натуральных a
  • Дифферинтеграл от произведения
\mathbb{D}^q_t(xy)=\sum_{j=0}^{\infty} {q \choose j}\mathbb{D}^j_t(x)\mathbb{D}^{q-j}_t(y)

Некоторые важные формулы

  • \mathbb{D}^{q}(t^n)=\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n+1-q)}t^{n-q}
  • \mathbb{D}^{q}(\sin(t))=\sin \left( t+\frac{q\pi}{2} \right)
  • \mathbb{D}^{q}(e^{at})=a^{q}e^{at}

См. также

Ссылки

Журналы

Comments